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Livio M., “La sezione aurea”, Rizzoli
Animali che sanno contare fino a quattro oggetti raggruppati.
Secondo Dantzig:
«Un possidente era deciso a sparare a un corvo che aveva preso dimora in una torre situata nella sua proprietà. Più volte aveva cercato di sorprendere l’uccello, ma invano: appena si accorgeva dell’avvicinarsi dell’uomo, il corvo abbandonava il nido. Da un albero lontano aspettava guardingo che l’intruso lasciasse la torre, dopodiché tornava nel nido. Un bel giorno, il possidente decise di ricorrere a uno stratagemma. Due uomini entrarono nella torre, poi uno uscì e si allontanò mentre l’altro restò all’interno. Ma il volatile non si lasciò ingannare: restò sul suo albero finché il secondo uomo non fu uscito a sua volta. L’esperimento fu ripetuto i giorni seguenti con due, tre e quattro uomini, sempre senza successo. Infine, furono mandati cinque uomini: come in precedenza, tutti entrarono nella torre, e uno vi restò mentre gli altri quattro uscivano e si allontanavano. Fu allora che il corvo perse il conto. Incapace di distinguere tra quattro e cinque, fece subito ritorno alla costruzione.»
Molti indizi suggeriscono che l’iniziale sistema di calcolo seguisse la filosofia dell’« uno, due... molti ». Gli indizi provengono dalle differenze tra le lingue nell’esprimere il plurale e le frazioni. Per esempio, in ebraico c’è una forma speciale di plurale per i nomi di alcune coppie di oggetti identici (mani, piedi...) e di oggetti formati da parti quasi, o perfettamente, identiche (pantaloni, occhiali, forbici...), diversa dal plurale comune. Mentre il tipico plurale termina in «im» nei nomi di genere maschile, e in «or» nei nomi di genere femminile, il plurale degli oggetti normalmente doppi o formati da due parti molto simili termina in «ayim». Analoghi fenomeni grammaticali si riscontrano nella lingua finlandese ed esistevano (fino al Medioevo) in quella ceca.
Livio M., “La sezione aurea”, Rizzoli, pag. 29
I Pitagorici al calar della sera dovevano recitare:
Non permettete al sonno di chiudervi gli occhi prima di avere tre volte riflettuto
sulle azioni della giornata. Quali sono state giuste, quali ingiuste, quali lasciate incompiute?
Si dice che sia stato Pitagora a coniare le parole «filosofia» (letteralmente, dal greco, «amore per la sapienza», o «per la saggezza») e «matematica» («ciò che si apprende»). «Filosofo» era, per usare le sue parole, colui che «si dedica alla scoperta del significato e dello scopo della vita, e alla comprensione dei segreti della natura». Pitagora sottolineò l’importanza dell’acquisizione di conoscenza rispetto a ogni altra attività, perché, come avrebbe detto, «alla maggior parte degli uomini e delle donne non è data, né per nascita né coi propri sforzi, la possibilità di diventare ricchi e potenti, mentre il sapere è alla portata di chiunque».
Livio M., “La sezione aurea”, Rizzoli, pag. 45
Secondo Platone, l’elemento terra è legato allo stabile cubo, il fuoco, che «fa breccia», al puntuto e semplice tetraedro, l’aria alla «mobile» forma dell’«ottaedro» e l’acqua allo sfaccettato icosaedro. Il quinto solido, il dodecaedro, fu collegato da Platone (sempre nel Timeo) all’universo nel suo insieme; o, per usare le sue parole, il dodecaedro sarebbe la forma «usata dalla divinità per ricamare le costellazioni sull’insieme dei cieli». Per questo Salvar Dalì ha immaginato un grande dodecaedro fluttuante sul tavolo del banchetto nel Sacramento dell’Ultima cena.
L’assenza di un elemento associato al dodecaedro non fu accettata da tutti i seguaci di Platone, alcuni dei quali supposero l’esistenza di una quinta sostanza fondamentale. Aristotele, per esempio, introdusse l’etere quale elemento costituitivo dei corpi celesti, ma presente nell’intero universo in qualità di «quinta essenza» cosmica. Pervadendo ogni altra materia, la quinta essenza permetteva il verificarsi del movimento e di ogni altro cambiamento in armonia con le leggi naturali. L’idea di una sostanza presente ovunque e con la essa estensione dello spazio resistette fino al 1887 sotto forma di substrato materiale della propagazione delle onde luminose, l’ «etere».
Livio M., “La sezione aurea”, Rizzoli, pag. 106
Le piante dispongono le foglie secondo schemi basati su tali numeri
Come accade che le piante dispongono le foglie e altre loro parti secondo schemi basati su tali numeri? La crescita delle piante ha luogo in corrispondenza dell’apice del fusto, dove si trova un tessuto giovane atto all’accrescimento chiamato «meristèma». L’apice vegetativo ha una forma pressappoco conica, restringendosi verso la sommità. Quello che scopriamo (immaginando una linea curva che colleghi le foglie) è che le foglie si succedono lungo una stretta spirale, chiamata «spirale vegetativa». Una delle scoperte dei fratelli Bravais nel 1837 fu che nuove foglie avanzano lungo la circonferenza formando un angolo pressappoco costante, e che quest’angolo (noto come angolo di divergenza) è di solito prossimo a 137,5°.
Vi turba apprendere che questo valore è determinato dal rapporto aureo ed è a volte chiamato «angolo aureo»?
In un pionieristico scritto del 1907, il matematico G. van Iterson ha dimostrato che, collocando una fitta serie di punti separati da 137,5” lungo una spirale avvitata strettamente, l’occhio riceve l’impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l’una in senso orario e l’altra in senso antiorario. I numeri di spirali delle due famiglie tendono a essere numeri consecutivi di Fibonacci, e infatti i rapporti tra questi numeri si avvicinano al rapporto aureo.
Simili spirali orarie e antiorarie trovano una delle realizzazioni più spettacolari nell’infiorescenza del girasole.
Ammirando un girasole è facile notare, al centro dell’infiorescenza, l’insieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità. È chiaro che gli elementi dell’infiorescenza crescono in modo da occupare nel modo più efficiente lo spazio circolare al centro del fiore. Il numero di spirali dipende di solito dalle dimensioni dèl girasole. Nel caso più comune ci sono trentaquattro spirali avvolte in senso orario o antiorario, e cinquantacinque avvolte nel senso opposto, ma sono stati osservati girasoli con rapporti del numero di spirali di 89/55, 144/89 e perfino di 233/144. Ancora una volta tutti i numeri citati sono termini (contigui, in questo caso) della successione di Fibonacci. Nei girasoli più grandi, si può constatare che dal centro alla periferia la configurazione si ingrandisce passando da una coppia di numeri contigui alla successiva.
La quantità e la disposizione dei petali di alcuni fiori sono anch’esse collegate coi numeri di Fibonacci e il rapporto aureo. Quanti di noi, almeno una volta nella vita, hanno «interrogato» i petali della margherita intorno alla fatale questione (m’ama o non m’ama)? La maggior parte delle margherite di campo hanno tredici, ventuno o trentaquattro petali — numeri ormai familiari. (Si noti che i primi due sono dispari; perciò, cominciando con «m’ama» il buon esito è garantito.)
Livio M., “La sezione aurea”, Rizzoli, pag. 169
«Legge di Benford»
La matematica, diversamente dalla poesia, spesso riesce gradevole non tanto quando è conforme a ciò che abbiamo intuito, ma quando smentisce tutte le attese. Inoltre, il piacere della matematica è spesso legato alla sorpresa prodotta dalla percezione di relazioni e unità del tutto insospettate. Una relazione matematica nota come «legge di Benford» è un magnifico oggetto di studio riguardo al modo in cui questi elementi si combinano suscitando un vivo senso di soddisfazione.
Un esempio: diamo un’occhiata al «World Almanac» in corrispondenza della tabella «Produzione agricola degli Stati Uniti, per Stato», relativa al 1999. C’è una colonna per i cereali, un’altra per i capi di bestiame e una per i prodotti dell’allevamento. I valori sono espressi in dollari. È naturale aspettarsi che tra i numeri che indicano il valore dei settori produttivi, le cifre da i a 9 compaiano nelle prime posizioni in modo casuale. In particolare, i dati che iniziano con i dovrebbero essere circa 1/9 del totale, esattamente come quelli che cominciano con 9 (o con un’altra cifra qualsiasi). Invece, i compare come prima cifra nel 32% dei casi (invece che nell’ 11% circa, come nell’ipotesi di un’uguale frequenza delle cifre). Anche il numero 2 compare piuttosto spesso, e precisamente nel 19% dei casi. La frequenza del 9, al contrario, è solo del 5%, nemmeno la metà del valore atteso! Il fatto che una singola tabella abbia questa caratteristica potrà apparire curioso, ma non particolarmente inquietante; almeno prima di aver esaminato qualche altra pagina dell’almanacco. (I dati citati sono quelli dell’edizione 2001.) Per esempio, nella tabella sul numero di vittime di «alcuni dei più gravi terremoti» si scopre che i numeri che cominciano con 1 sono il 38% del totale, e quelli che cominciano con 2 il 18%. In una tabella senza alcun rapporto con la precedente, sulla popolazione dei centri abitati del Massachusetts con almeno cinquemila abitanti, i numeri iniziano con i circa nel 36% dei casi, con 2 circa nel 16,5%. All’estremo opposto della serie delle cifre, 9 occupa il primo posto nel 5% circa dei numeri delle tabelle, ben lungi dall’atteso 11%. Com’è possibile che statistiche relative a realtà così diverse, e apparentemente casuali, presentino il numero 1 come prima cifra in oltre il 30% dei casi, e il 2 circa nel 18% dei casi? La situazione diventa ancora più strana esaminando raccolte di dati ancora più grandi. Per esempio, il professore di amministrazione Mark Nigrini, della Cox School of Business presso la Southern Methodist University di Dallas, ha esaminato la popolazione di 3141 contee secondo il censimento del 1990, e constatato che la cifra 1 compariva al primo posto nel 32% dei dati numerici, la cifra 2 nel 17% circa, la cifra 9 in meno del 5%. L’analista Eduardo Ley del Resources for the Future di Washington D.C. ha ricavato dati molto simili dall’indice azionario Dow Jones degli anni 1990-93. E come se questi paradossi non bastassero, ecco un’altra stranezza: esaminando un elenco di, per ipotesi, duemila numeri di Fibonacci, risulterà che il numero i compare al primo posto in circa il 30% dei casi, il numero 2 in circa il 17,6%, il 3 nel 12,5%, e così via, con frequenze decrescenti man mano che ci si avvicina a 9, con la sua frequenza del 4,6%. I numeri di Fibonacci hanno probabilità elevate di cominciare con 1, dato che la «popolarità» delle altre cifre è decrescente esattamente allo stesso modo che nelle raccolte casuali di dati numerici appena citate!
L’astronomo e matematico Simon Newcomb (1835-1909) fu il primo ad accorgersi, nel 1881, del «fenomeno della prima cifra». Egli aveva notato che gli elenchi di logaritmi delle biblioteche, consultati per l’esecuzione di vari calcoli, erano visibilmente più logori all’inizio (nelle parti dei numeri che cominciano con i e 2), e che lo stato delle pagine migliorava man mano che ci si avvicinava alla fine. Niente di strano se si fosse trattato di un brutto romanzo, che solo pochi lettori si sorbivano fino all’ultimo capitolo; ma trattandosi di tavole logaritmiche, bisognava pensare che nei calcoli entrino più frequentemente i numeri che cominciano con i e 2. Newcomb, comunque, andò ben oltre la mera constatazione di questo fatto: trovò quella che considerava la formula con cui calcolare la probabilità che un numero scelto a caso cominciasse con ciascuna cifra. Detta formula assegna ai numeri che cominciano con 1 una frequenza del 30%; a quelli che cominciano con 2, una frequenza intorno al 17,6%; a quelli che cominciano con 3, una frequenza intorno al 12,5%; a quelli che cominciano con 4, una frequenza intorno al 9,7%; la frequenza del ~ è circa dell’8%; quella del 6 è vicina al 6,7%; quella del 7, al 5,8%; quella dell’8, al 5%; e quella del 9, al 4,6%. L’articolo di Newcomb sull’«American Journal of Mathematics» e la «legge» da lui scoperta passarono completamente inosservati, finché, cinquantasette anni dopo, il fisico Frank Benford della General Electric riscoprì il curioso fenomeno (a quanto pare, per conto proprio) e lo verificò rispetto a vari dati numerici, dalle superfici dei bacini fluviali alle statistiche sportive e perfino alle grandezze citate nei più disparati articoli del «Reader’s Digest». Tutti i dati corrispondevano con straordinaria precisione a quanto previsto dalla formula, nota da allora come «legge di Benford».
Questa legge fornisce un altro esempio affascinante di matematica pura trasformata in applicata. Una delle sue applicazioni più interessanti consiste nella scoperta di frodi e alterazioni della contabilità. In un gran numero di documenti contabili, i dati autentici sono strettamente conformi alla legge di Benford, a differenza dei dati manipolati. Ted Hill ha escogitato una dimostrazione semplice ed elegante di come la teoria della probabilità possa aiutare a smascherare una frode. Nel primo giorno di lezione del suo corso sulla probabilità, egli invita gli studenti a effettuare un semplice esperimento: tornati a casa, quelli la cui madre ha un cognome che comincia con una lettera da A a L lanceranno in aria una moneta duecento volte segnando il risultato; gli altri si limiteranno a scrivere una serie, della stessa lunghezza, di risultati inventati anche se apparentemente plausibili. Il giorno dopo egli si fa consegnare le serie e dimostra di poter distinguere quelle vere da quelle fraudolente con un’accuratezza del 95%. Come ha fatto? Ogni serie genuina di lanci contiene, con una probabilità molto alta, una serie consecutiva di sei «teste» o sei «croci». D’altra parte chi falsifica la serie non ha motivo di pensare di dover inserire una sequenza di questo genere.
Un caso recente in cui la legge di Benford è stata usata per smascherare una frode ha riguardato un’importante società americana di turismo e divertimento. Il direttore dei revisori aveva trovato qualcosa di strano nelle informazioni fornite da un dirigente dell’amministrazione sanitaria. Le prime due cifre delle spese per l’assistenza medica presentavano un picco sospetto di numeri che cominciavano con 65 rispetto al livello previsto dalla legge di Benford. (Una versione più dettagliata della legge fornisce le frequenze attese anche della seconda cifra e delle successive) Una revisione accurata permise di individuare tredici assegni fraudolenti per somme comprese tra 6500 e 6599 dollari. Anche l’Ufficio del procuratore distrettuale del quartiere newyorkese di Brooklyn ha usato la legge di Benford per smascherare frodi in sette società di New York.
Livio M., “La sezione aurea”, Rizzoli, pag. 346
A New Kind of Science di Stephen Wolfram
In che misura siamo sicuri che le leggi alle quali l’universo deve ubbidire debbano essere presentate sotto forma di equazioni matematiche del tipo da noi formulato? Fino a tempi molto recenti, probabilmente la maggior parte dei fisici in tutto il mondo avrebbe risposto che la storia ha dimostrato che le nostre equazioni sono l’unico modo in cui le leggi fisiche possono essere espresse. Ma la situazione potrebbe cambiare con la pubblicazione di A New Kind of Science di Stephen Wolfram, uno degli studiosi più originali nel campo della cibernetica e della teoria dei sistemi complessi. Wolfram è noto soprattutto per lo sviluppo di «Mathematica», un programma/sistema per elaboratori che permette una gamma di calcoli in precedenza irrealizzabili. Dopo un decennio di silenzio pressoché assoluto, Wolfram sta per tornare sulla scena culturale con un libro provocatorio, sostenendo audacemente di poter aggiornare l’intera infrastruttura della scienza. In un mondo abituato da più di trecento anni a una ricerca scientifica dominata dalle equazioni matematiche in veste di «mattoni» dei nostri modelli della natura, Wolfram propone di sostituirle con agili programmi per computer.
Egli suggerisce che il principale segreto della natura consiste nel servirsi di «programmi» molto semplici per generare realtà estremamente complesse.
Il libro di Wolfram non è ancora uscito nel momento in cui sto scrivendo, ma da una lunga conversazione che ho avuto con lui, e da un’intervista che egli ha concesso al pubblicista scientifico Marcus Chown, ritengo di poter senz’altro affermare che il suo lavoro ha implicazioni di ampia portata. Per quanto riguarda la più limitata questione delle presenti riflessioni sul platonismo, il suo lavoro sottolinea il fatto che, come minimo, il mondo delle idee matematiche che alcuni ritengono esistere da qualche parte, al di là dei nostri pensieri e della realtà concreta e mutevole, potrebbe non essere unico. In altre parole, Wolfram ritiene senz’altro possibili descrizioni quantitative della natura radicalmente diverse da quelle a cui siamo abituati. La matematica come la conosciamo conterrebbe solo una piccola parte dei possibili insiemi di regole utilizzabili per descrivere il funzionamento del cosmo.
Livio M., “La sezione aurea”, Rizzoli, pag. 364